[김쌤s’ 수학클리닉] = 수학자들이 삼각형과 원과의 관계를 연구했다는 것은 앞서 밝혔다. 삼각형은 5개의 중심이 있는데, 이중 가장 중요한 것이 내심과 외심이다.

내심=삼각형의 내각의 이등분선이 삼각형 내부의 한 점에 모인 것
외심=삼각형의 변의 수직 이등분선이 삼각형 내부의 한 점에 모인 것

이상에서 다음과 같은 중요한 성질이 나타난다.

내심은 삼각형이 품고 있는 원의 중심이고, 외심은 삼각형을 둘러싸는 원의 중심이다. 이것은 외심의 경우, 외심에서 각 꼭짓점에 이르는 선분의 길이가 같다(원의 반지름이므로)는 것을 의미한다.

여기서 시험에 자주 등장하는 내심과 외심의 중요한 성질이 도출되는데, 이를 기하학적으로 정리하면 다음과 같다.

▲ 삼각형의 내심 .그래픽=김영수.     © 경기도민뉴스

1) 내심에서 ∠BIC=90°+a
<증명>
큰 삼각형에서 내각의 합은 180°이므로
(a+a)+(b+b)+(c+c)=180°
2(a+b+c)=180°, ∴ (a+b+c)=90° …①

∠BIC를 X라 하면,
작은 삼각형에서,
X+b+c =180°…②

①에서 (a+b+c)=90°인 것을 알지만, (b+c)의 값은 알 수 없다. 따라서 ②식을 변형하면
X+a+(-a )+b+c =180°
X+a +b+c -a =180°
X+90°(=a +b+c ) -a =180°
X -a =90°
∴X (∠BIC)=90°+a

▲ 삼각형의 외심. 그래픽=김영수.     ©경기도민뉴스

2) 외심에서 ∠BOB=2(a+c)
<증명>
각 a, c 에서 밑변으로 임의의 선을 그어 삼각형 2개를 만든다.
∠AOA를 d로,
∠BON을 x로,
∠NOB를 y로,
∠COC를 e라고 하면,

(a+a)+d=180°이고, d+x=180°이므로
x=2a …①

마찬가지로
(c+c)+e=180°이고, e+y=180°이므로
y=2c  …②

①, ②에서
(x+y)=2(a+c)가 된다.

따라서 원의 중심각의 크기는 원주각의 크기의 2배라는 것을 외심의 성질을 통해 알 수 있다.

▲ 원의 한 현에서 그은 원주각의 크기는 모두 같다. 그래픽=김영수.     ©경기도민뉴스

또 이를 통해 원의 한 현에서 그은 원주각의 크기도 모두 같다는 것을 알 수 있다. 앞서 설명한 삼각형의 외심의 성질에 의해 모두 중심각의 1/2이 되기 때문이다.