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018. 삼각형 내심과 외심의 성질
내심=삼각형 내각의 이등분선, 외심=삼각형 변의 수직 이등분선
경기도민뉴스 기사입력  2020/10/01 [09:48]

[김쌤s’ 수학클리닉] = 수학자들이 삼각형과 원과의 관계를 연구했다는 것은 앞서 밝혔다. 삼각형은 5개의 중심이 있는데, 이중 가장 중요한 것이 내심과 외심이다.


내심=삼각형의 내각의 이등분선이 삼각형 내부의 한 점에 모인 것
외심=삼각형의 변의 수직 이등분선이 삼각형 내부의 한 점에 모인 것

 

이상에서 다음과 같은 중요한 성질이 나타난다.


내심은 삼각형이 품고 있는 원의 중심이고, 외심은 삼각형을 둘러싸는 원의 중심이다. 이것은 외심의 경우, 외심에서 각 꼭짓점에 이르는 선분의 길이가 같다(원의 반지름이므로)는 것을 의미한다.

여기서 시험에 자주 등장하는 내심과 외심의 중요한 성질이 도출되는데, 이를 기하학적으로 정리하면 다음과 같다.

 

▲ 삼각형의 내심 .그래픽=김영수.     © 경기도민뉴스


 

1) 내심에서 ∠BIC=90°+a
<증명>
큰 삼각형에서 내각의 합은 180°이므로
(a+a)+(b+b)+(c+c)=180°
2(a+b+c)=180°, ∴ (a+b+c)=90° …①


∠BIC를 X라 하면,
작은 삼각형에서,
X+b+c =180°…②


①에서 (a+b+c)=90°인 것을 알지만, (b+c)의 값은 알 수 없다. 따라서 ②식을 변형하면
X+a+(-a )+b+c =180°
X+a +b+c -a =180°
X+90°(=a +b+c ) -a =180°
X -a =90°
∴X (∠BIC)=90°+a

 

 

▲ 삼각형의 외심. 그래픽=김영수.     ©경기도민뉴스



2) 외심에서 ∠BOB=2(a+c)
<증명>
각 a, c 에서 밑변으로 임의의 선을 그어 삼각형 2개를 만든다.
∠AOA를 d로,
∠BON을 x로,
∠NOB를 y로,
∠COC를 e라고 하면,


(a+a)+d=180°이고, d+x=180°이므로
x=2a …①


마찬가지로
(c+c)+e=180°이고, e+y=180°이므로
y=2c  …②


①, ②에서
(x+y)=2(a+c)가 된다.

 

따라서 원의 중심각의 크기는 원주각의 크기의 2배라는 것을 외심의 성질을 통해 알 수 있다.

 

▲ 원의 한 현에서 그은 원주각의 크기는 모두 같다. 그래픽=김영수.     ©경기도민뉴스


또 이를 통해 원의 한 현에서 그은 원주각의 크기도 모두 같다는 것을 알 수 있다. 앞서 설명한 삼각형의 외심의 성질에 의해 모두 중심각의 1/2이 되기 때문이다.

 

<알림>
경기도민뉴스는 일명 수포자를 위한 [김쌤s’ 수학클리닉]을 연재한다. [김쌤s’ 수학클리닉]은 중등~고등1학년 중 수학을 어려워하는 학생을 대상으로 한 것으로 수학의 기본적인 개념을 제시하는데 중점을 뒀다.
수학 반타작(문과 수능 수리영역 기준 100점 만점에 50점 득점)을 일차목표로 하며, 이를 위한 첫걸음이 수학클리닉이다. 엄밀한 증명도 있겠지만, 실제 개인지도 현장에서 학생들이 부딪히는 문제의 직관적 해결도 있다.
공동 필자=김영수/김도현(동국대 물리반도체 2014)
기사입력: 2020/10/01 [09:48]  최종편집: ⓒ 경기도민뉴스
 
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