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021. 중등 1차방정식 ③나이 예금 학생수
같은 시간동안 아버지와 아들이 먹는 나이는 같다
경기도민뉴스 기사입력  2020/10/20 [06:43]

[김쌤s’ 수학클리닉] = 나이 관련 문제는 아버지가 나이를 먹을때, 아들도 아버지와 똑 같은 나이를 먹는다는 점이다. 또 당연히 아버지의 나이가 아들 나이보다 많을 수밖에 없다. 방정식을 풀기 위해서는 아버지와 아들의 나이를 같도록 만들어야 하는데, 등호를 기준으로 대부분은 아들의 나이에 숫자를 곱하거나, 더하는 것이 많다.


학생수의 증감은 먼저 △전교생 △남학생 △여학생을 구분하고, 다시 각각의 증감을 그림이나 표로 비교한다. 소금물농도문제 풀이와 비슷한 방식을 사용한다.


문제를 통해 개념을 확인하고, 풀이방법을 익혀보자.


예제1) 아버지의 나이는 아들의 나이보다 31살이 많다. 10년 후 아버지의 나이가 아들 나이의 2배가 된다고 할 때, 현재 아버지의 나이는?
풀이
간단하게 표를 만들어본다.


아버지의 현재 나이(X), 아들의 현재 나이(Y)라 하고,
아들의 현재 나이를 아버지 기준으로 변형하면 (X–31)=Y
10년이 지나면 아버지도 10살, 아들도 10살 더 나이를 먹으므로,
아버지의 나이 (X+10), 아들의 나이 (X–31)+10
10년 후에는 아버지 나이가 아들 나이의 2배라고 했으므로
X+10=2(Y +10) ------①
미지수가 하나이고, 식이 하나이면 풀리지 않는다(부정방정식은 예외) 문제의 조건을 살펴보면, 아버지 나이가 아들나이보다 31살 많다고 했다.
즉, X=Y+31 ---------②
이상에서
Y+31을 ①에 대입하면,
Y+31+10=2Y+20
X=52, Y=21
현재 아버지의 나이는 52, 아들은 21.
10년후 아버지는 62, 아들은 31로 검산도 해본다.

 

예제2) 아버지 나이는 딸의 나이의 4배보다 2살 많다. 할아버지와 아버지 나이를 더하면 딸의 나이의 12배다. 23년 후 딸과 아버지 나이의 합은 할아버지와 같다. 각각 구하라.
풀이
딸 나이=X
아버지 나이=Y
할아버지 나이=Z

Y=4X+2 ----- ①
Y+Z=12 X ---- ②
(X+23)+(Y+23)=(Z+23 )-- ③
③을 ②에 대입하면,
Y+X+23+Y=12X
11X=2Y+23 ------ ④
①, ②, ③, ④를 연립하면
Y=4X+2
11X=2Y+23 에서, 11X=2 (4X+2)+23
3X=27,
∴X 딸= 9, Y 아버지=38, Z 할아버지=70

예제3) A와 B는 매월 각각 5000원씩 예금하고 있다. 현재 A의 예금액은 80000원이고, B의 예금액은 50000원이다. A의 예금액이 B의 예금액의 2배가 되는 때는 언제인가?
풀이
X개월 후에 A의 예금액이 B의 예금액의 2배가 된다고 생각하면,
X개월 후의 A의 예금액은 (80000 + 5000X)원
B의 예금액은 (50000 + 5000X)원
A의 예금액은 B의 예금액의 2배와 같으므로,
80000 + 5000X = 2(50000 + 5000x)

이것을 풀면,
80000 + 5000X = 100000 + 10000X
 -5000X = 20000
 X = -4
지금부터 -4개월 후는 4개월 전이라고 생각할 수 있다.

 

예제4) 어떤 학교의 작년 입학생은 300명이다. 올해 입학한 남학생은 작년에 비해 10%늘고, 여학생은 5%줄었다. 전체적으로는 신입생이 작년에 비해서 9명이 늘어났다. 올해 입학한 남녀학생 수는?
풀이


작년 전교생(X+Y=300), 남학생수(X), 여학생수(Y)
올해전교생 309, 올해남학생수 X+10%, 올해여학생수 Y-5%

이상에서
올해 학생수는
(X+10/100X)+(Y –5/100Y)=309------①
작년학생수는

X+Y =300---------②
①, ②를 연립하면,
X =160, Y =140 ← 이것은 작년의 남녀학생 수이므로, 160의 10%인 16을 더하고, 140의 5%인 7을 빼면 올해의 신입생 수가 된다.
올해 신입 남학생=176, 올해 신입 여학생=133


예제5) 어느 학교에서 작년의 전체 학생 수는 1150명이었다. 올해는 남학생 수가 작년보다 3% 감소하고, 여학생 수가 2% 증가하여 전체 학생 수는 1143명이 되었다. 올해 남학생 수는?
풀이


작년 전교생(X+Y=1150), 남학생수(X), 여학생수(Y)
올해 전교생 1143, 올해남학생수 X–3%, 올해여학생수 Y+2%
이상에서,
올해 남학생은 X–{X*(3/100)%}
올해 여학생은 Y+(Y*(2/100)%)
올해 전교생은
1143= [X–{X*(3/100)%}]+[Y+(Y*(2/100)%)]
작년 전교생
X +Y =1150 ------①
올해 전교생
(X-0.03X )+(Y+0.02Y )=1143
0.97X+1.02Y =1143 ---------②

①, ②를 연립하면
100X+100Y =115000
 97X+102Y =114300
3X-2Y =700----③
①, ③ 을 연립하면,
2X+2Y =2300
3X-2Y =700
5X =3000---④
∴X(작년 남학생 수)=600, Y(작년 여학생 수)=550
올해 감소한 남학생 수는 600*0.03=18명
올해 늘어난 여학생 수는 550*0.02=11명
따라서 올해 남학생 수는 582명, 올해 여학생 수는 561명이므로 1143명이다.

 

<알림>
경기도민뉴스는 일명 수포자를 위한 [김쌤s’ 수학클리닉]을 연재한다. [김쌤s’ 수학클리닉]은 중등~고등1학년 중 수학을 어려워하는 학생을 대상으로 한 것으로 수학의 기본적인 개념을 제시하는데 중점을 뒀다.
수학 반타작(문과 수능 수리영역 기준 100점 만점에 50점 득점)을 일차목표로 하며, 이를 위한 첫걸음이 수학클리닉이다. 엄밀한 증명도 있겠지만, 실제 개인지도 현장에서 학생들이 부딪히는 문제의 직관적 해결도 있다.
공동 필자=김영수/김도현(동국대 물리반도체 2014)
기사입력: 2020/10/20 [06:43]  최종편집: ⓒ 경기도민뉴스
 
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