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023. 중등 1차방정식 ⑤합격자 가위바위보 등
의자 앉기의 핵심은 빈자리와 남는 자리 처리
경기도민뉴스 기사입력  2020/10/26 [09:50]

[김쌤s’ 수학클리닉] = 전교생 문제는 작년과 올해가 핵심이다. 남학생 여학생이 아니다. 합격자 문제 역시 합격자와 불합격자가 핵심이다. 의자 앉기는 빈자리와 남는 자리를 어떻게 처리할 것인지가 핵심이다. 예제로 확인해보자.

 

예제1) 입학지원자 남녀의 비는 3:4, 합격자 남녀의 비는 3:5, 불합격자 남녀의 비는 1:1이고, 입학지원자는 140명이다. 불합격자는 몇 명인가?
풀이
무엇을 기준으로 구분할 것인지를 잘 생각해보자. 이 문제는 합격자와 불합격자를 알아내는 문제이므로 지원자와 합격자를 먼저 파악해야한다.

지원자를 X라 하면 남자는 3X, 여자는 4X가 된다.
지원한 사람이 140명이므로,
3X+4X=140 ---- ①
X=20이므로 지원한 남자는 60명, 여자는 80명이다.
합격한 남자 여자를 Y라 하면 남자는 3Y, 여자는 5Y가 된다.
​불합격한 남자와 여자는 각각
남자 60명에서 합격자를 빼면 (60-3Y)
여자 80명에서 합격자를 빼면(80-5Y)가 된다.

그런데 불합격한 남녀의 비율은 1:1이라 했으므로,
(60-3Y) : (80-5Y)=1:1 ----- ②

Y=10

따라서 합격자가 80명이므로, 불합격자는 60명이다.

 

예제2) A, B 두 식품의 100g에 대한 단백질의 양과 열량이 다음과 같다.
식품 A = 단백질12(g) 열량 24(cal)
식품 B = 단백질 9(g) 열량 36(cal)
두 식품의 단백질의 양의 합계가 252g이고, 열량의 합계가 756cal 일 때, 두 식품 A, B의 양을 구하라.

풀이
단백질은 단백질끼리, 열량은 열량끼리 계산하는 것이 요령이다.
단백질 252g 열량 756g
식품 A = 단백질12(g) 열량 24(cal)
식품 B = 단백질 9(g) 열량 36(cal)

식품 A의 양을 X(g), 식품 B의 양을 Y(g)이라 하면
0.12X+0.09Y=252(g) --- ①
0.24X+0.36Y=756(cal) --- ②
연립하면
X=1050(g) Y=1400(g)

 

​예제3) 빵과 버터에 들어있는 단백질과 지방의 함유율이 다음과 같다.
빵 = 단백질(8%) 지방(1%)
버터 = 단백질(2%) 지방(80%)
단백질 82g, 지방 90g을 섭취하려면 빵과 버터를 각각 몇 g씩 먹어야 하는가?

풀이
단백질은 단백질끼리, 지방은 지방끼리 계산하는 것이 요령이다. 빵을 X, 버터를 Y라 하면,
단백질에서
(8/100)X + (2/100)Y=82 ------①
지방은
(1/100)X + (80/100)Y=90 ------②

연립하면
빵(X)=1000(g), 버터(Y)=100(g)

 

예제4) 두 식품 A, B의 10g에 대한 단백질과 열량이 다음과 같을 때,
식품 A = 단백질1.2(g) 열량 15(cal)
식품 B = 단백질0.6(g) 열량 35(cal)
A, B를 합쳐 200g을 섭취해, 단백질은 15g 이상 열량은 500cal 이상 섭취하려면 A를 얼마나 먹어야 하나?

풀이
​식품 A의 양을 X(g), 식품 B의 양을 (200-X)라 하면
(1.2/10)X+(0.6/10)(200-X)≥15(g) --- ①
(15/10)X+(35/10)(200-X)≥500(cal) --- ②
①, ②를 연립하면 50≤ X ≤100


예제5) A, B 두 사람이 가위 바위 보를 해서 이긴 사람은 3계단, 진 사람은 2계단 내려갔다. A는 처음 보다 30계단, B는 5계단 올라갔다. A가 이긴 횟수는?(비긴적은 없다)
풀이
A가 이긴 횟수를 X, B가 이긴 횟수를 Y라 하면, Y는 A가 진 횟수이고, X는 B가 진 횟수다.
A는 X회 이기고Y회 졌으므로
3X-2Y=30 ---- ①

B는 X회 지고Y회 이겼으므로
3Y-2X=5 ----- ②

①, ② 연립하면
X=20, Y=15
따라서 A가 20회, B가 15회 이겼다.

 

예제6) 긴 의자가 있다. 몇 개인지 알면 문제가 성립하지 않으니까 그건 모르고~ 이 의자 하나에 4명씩 앉게 하면 6명은 의자가 없어 서 있어야 한다.
그래서 5명씩 앉게 했더니, 이번에는 의자 1개가 남는다. 더욱이 또 다른 의자 1개는 3명만 앉았다. 도대체 사람은 몇 명인가?

풀이

 

 

ⅰ)의자의 수도 모르고 사람도 몇 명인지 모르지만 하여간 의자 하나에 4명씩 앉히면 결국 나중에는 6명이 의자에 앉지 못하게 된다는 것은 안다.
일단 의자를 X로 잡고, 의자가 몇 개인지 모르지만 4명씩 앉게 되므로 4X가 된다. 4명씩 앉아서 나중에 6명은 서 있게 되므로
​4X+6…①

 

ⅱ) 의자를 X로 놓았으므로, 이번에는 5명씩 앉을 경우를 생각한다. 그런데 의자 2개가 문제가 된다. 하나는 3명만 앉고, 하나는 아예 한명도 앉지 않았으므로~
에라~골치 아프니까 아예 의자 2개를 모두 빼버리자.
그러면 의자의 개수가 몇 개인지는 정확히 알 수 없지만 하여간 (X-2)개라는 것은 알 수 있다.
이 의자에 5명씩 앉히는 것이므로 5(X-2)가 된다.
아참~3명이 그럼 의자에 못 앉게 되네~ 이거 어떡하지? 뭐 어떡해~그냥 5(X-2)에다가 +3 해 버리지 뭐~​

그래서 식을 세우면
5(X-2)+3…②

 

ⅲ) ①과 ②가 결국은 같다.
따라서
4X+6=5(X-2)+3
X=13
그럼 사람은 13명인가?
어~ 아닌데? 참~ 지금까지 구한 것은 의자의 개수였지~

 

ⅳ) 계산 결과가 문제의 뜻에 맞는지 확인해본다.
(13*4)+6=58…①
(11*5)+3=58…② ⇒ ②번식에서는 의자의 개수(X)에서 2개를 뺀 상태로 계산했다. 따라서 11개.

 

ⅴ) 문제에서 구하라고 한 것은 사람의 숫자이므로 58명.

 

<알림>
경기도민뉴스는 일명 수포자를 위한 [김쌤s’ 수학클리닉]을 연재한다. [김쌤s’ 수학클리닉]은 중등~고등1학년 중 수학을 어려워하는 학생을 대상으로 한 것으로 수학의 기본적인 개념을 제시하는데 중점을 뒀다.
수학 반타작(문과 수능 수리영역 기준 100점 만점에 50점 득점)을 일차목표로 하며, 이를 위한 첫걸음이 수학클리닉이다. 엄밀한 증명도 있겠지만, 실제 개인지도 현장에서 학생들이 부딪히는 문제의 직관적 해결도 있다.
공동 필자=김영수/김도현(동국대 물리반도체 2014)
기사입력: 2020/10/26 [09:50]  최종편집: ⓒ 경기도민뉴스
 
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