[김쌤s’ 수학클리닉] = 수학에서 가장 기본적인 도형은 원과 삼각형이다. 삼각형의 넓이를 기하학적으로 구하는 방법 세가지를 소개한다. 이중 삼각함수를 활용해 구하는 방법은 증명 없이 소개한다. 삼각함수는 나중에 기본원리를 설명하기로 한다.

1) 모든 다각형은 삼각형으로 나눌 수 있다
모든 다각형은 삼각형으로 분해할 수 있고, 따라서 면적도 쉽게 구할 수 있다. 삼각형의 면적을 구하는 방법은 여러 가지가 있지만, 그 중 가장 기본적인 것이 바로 밑변×높이÷2(=1/2ah)다.
이 방법은 직각사각형의 넓이를 구한 후 반으로 나눈 것으로, 누구나 쉽게 이해할 수 있다.

그림은 삼각형의 높이와 밑변의 길이를 고정한 채 형태만 변형한 것이다. 2개의 정사각형이 이어져 1개의 직사각형을 이루고 있다고 할 때, 정사각형(ABCD) S1의 넓이가 10이라 하자.

그렇다면 정사각형 절반의 넓이를 나타내는 삼각형(ABC)의 넓이는 5가 될 것이고 2개의 정사각형을 이어붙인 직사각형(AEFD)의 넓이(S)는 20일 것이다.

이제 삼각형 ABF의 넓이(S2)는 사각형 ABFC의 절반이고, 이 사각형은 정사각형 ABCD를 분해해서 조각을 다시 이어붙인 것을 알수 있다. 따라서 사각형 ABFC의 절반인 삼각형 ABF의 넓이 (S2)는 5다.

사각형 ABCD=10, 사각형 ABFD=20, 삼각형 ABC=5, 삼각형 ABF=5

2) 삼각함수를 이용한 넓이공식
다음은 삼각함수를 이용한 넓이공식(1/2ab*sinθ)이 있는데, 두변의 길이와 사이각의 크기만 알면 구할 수 있으므로 직각삼각형이 아닐 때도 사용할 수 있다는 것이 장점이다.

3) 헤론의 공식
헤론의 공식은 삼각형의 세변의 길이만 알면 사용할 수 있는 것으로, 삼각함수의 성질을 이용해 유도해낸 것이다. 유도과정은 복잡하지만, 공식은 간단해서 쉽게 암기해서 사용할 수 있는 것이 장점이다.

삼각형의 각 변의 길이를 a, b, c 라고 할 때 세변의 길이를 모두 더한 후, 반으로 나눈 것을 s 라 하면,

▲ 원래 삼각형의 각변의 길이가 3, 4, 5이면 직각삼각형(피타고라스의 정리)이지만, 이해를 위해 의도적으로 왜곡했다.     © 경기도민뉴스

예를 들어 각 변의 길이가 3, 4, 5인 삼각형이 있다고 하면, a+b+c=12이므로 s=6이다.
이제 공식을 적용하면

s-a(6-3), s-b(6-4), s-c(6-5)를 각각 곱하면 6이고, 여기에 s(6)를 곱하면 36이다. 여기에 루트를 씌우면 6. 간단하지 않은가?

고교에서는 적분으로 면적과 부피를 구하지만, 기초적인 도형의 성질을 아는 것도 중요하므로 소개한다.