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025. 십진법 숫자의 2진법 변환 방법
진법 변환은 곱셈과 나눗셈(지수)의 원리를 활용한 것
경기도민뉴스 기사입력  2020/10/30 [10:06]

[김쌤s’ 수학클리닉] = 우리가 일상적으로 사용하는 수(數) 체계(體系)는 기본적으로 십진법을 사용한다. 십진법은 사람의 손가락이 10개이므로 원시시대부터 자연적인 사물을 헤아리는 데 가장 유용했기 때문이라는 설명도 있다.

 

1) 십진법에서 ‘10’은 새로 합성한 숫자다
십진법을 구성하는 수는 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9의 10개다. 초등학생이나 학력이 낮은 학생들은 0을 제외하고, 1~10이 십진법을 구성하는 것으로 잘못 알고 있는 경우도 많다.


십진법에서 10은 십진법의 고유숫자가 아니라 원래 있던 수 ‘1’과 ‘0’을 조합해 새롭게 표현한 것이다. 십진법은 우리가 일상적으로 사용하는 수의 체계로 대부분의 연산은 십진법을 기준으로 한다.

 

2) 2진법에서 사용할수 있는 숫자는 ‘0’과 ‘1’뿐이다
컴퓨터는 2진법을 기초로 연산을 수행한다. 따라서 2진법에서 사용하는 수는 ‘0’과 ‘1’ 두 개뿐이다. 5진법이라면 0, 1, 2, 3, 4의 5개다. 십진법에서는 0부터 5까지 순서대로 자연수를 늘어세운다면 0, 1, 2, 3, 4, 5가 되겠지만 2진법에서는 0, 1, 10(2), 11(3), 100(4), 101(5)가 된다. 십진법의 5를 이진법으로는 101(2)로 표기하고 ‘이진법 101’이라 읽는다.

 

10진법 표기         2진법 표기          3진법 표기
  0     --------    0        ---------    0
  1     --------    1        ---------    1
  2     --------    10(2)    ---------    2
  3     --------    11(3)    ----------  10(3)
  4     --------    100(4)   ----------  11(4)
  5     --------    101(5)   ----------  12(5)

 

이 기수법 혹은 진법 문제는 지수법칙과도 밀접한 관련이 있어서, 초등학생이나 저학력 중등학생은 이해에 어려움을 겪기도 한다.


3) 2진법이나 5진법을 십진법으로 바꾸기
먼저 십진법에서 1000+100+10+1의 결과는 1111인 것을 쉽게 알 수 있다. 우리가 사용하는 아라비아 숫자는 개별적인 숫자 자체가 크기를 결정하는 것이 아니라 자리의 배치에 따라 숫자의 크기가 결정된다.


앞서 1111이라는 숫자는 모두 ‘1’로 구성된 네 자리수다. 우리는 이 ‘네 자리수’라는 것에서 이 숫자가 천단위 수라는 것을 알 수 있다. 또 1111은 ‘1000+100+10+1’으로도 나타낼 수 있으며 이 경우 숫자의 크기는 그 자체의 크기가 아니라, 위치에 따라 정해진다는 것을 알 수 있다.

▲ 그림1.     © 경기도민뉴스



그림1은 1111을 십진법으로 나타내는 원리다. 같은 원리를 적용해서 2진법 111의 표현방법과 함께 111은 원래 십진법 7이었다는 것을 나타낸 것이 그림2다. 그림3은 5진법 111이 원래 10진법으로는 무엇이었는지를 나타낸 것이다.

▲ 그림2.     © 경기도민뉴스

 

▲ 그림3.     © 경기도민뉴스



이상의 변환과정에서 뒤에서 곱하는 숫자는 곧 진법을 의미한다는 것을 알 수 있다.
십진법은 10을, 이진법은 2를, 오진법은 5를 각자리의 수에 곱하고, 곱한 숫자는 뒤에서부터 0, 1, 2, 3 제곱을 붙여서 계산하는 것이다. 충분한 연습으로 익히기 바란다. 이중 ‘어떤 수의 0제곱은 1이 된다’는 것은 앞서 <014. 지수법칙의 기본은 곱셈과 나눗셈>편에서 설명했다.

 

4) 십진수의 2진법 변환은 몫이 0이 될 때까지
십진법체계의 수를 2진법이나 5진법으로 변환하는 것은 역과정이지만, 어렵게 느끼는 학생들이 많다. 진법은 거듭제곱의 개념이고, 거듭제곱은 곱한다는 의미이므로, 진법의 변환은 결국 곱셈과 나눗셈을 활용한 것이다.
십진법 9를 5진법으로 나타내려면, 일단 5로 9를 나눠보면 (5*1)+4라는 것을 알 수 있다. 이때 나눗셈의 몫 ‘1’이 자릿수가 바뀌면서 14가 된다.
십진법 9를 2진법으로 나타내려면, 일단 2로 9를 나눠보면,
     9
5 ㅣ 1  ----  4     ↑
5 ㅣ 0  ----  1    ↑
따라서 십진법 9는 5진법으로 14다.


     9
2 ㅣ 4  ----  1     ↑
2 ㅣ 2  ----  0    ↑
2 ㅣ 1  ----  0   ↑
2 ㅣ 0  ----  1  ↑
따라서 십진법 9는 이진법으로 1001이다.


이상에서 알 수 있듯이 진법 변환의 나눗셈은 몫이 0이 될 때까지 나누고, 최종 나머지는 그 숫자의 가장 큰 자리에 위치한다는 것이다.


5) 아리비아 숫자, 자릿수 개념이 있어 계산이 편리
아라비아숫자가 한자나 다른 숫자에 비해 우월한 것은 자릿수라는 개념을 도입해 그 자체로 연산이 간단하기 때문이다. 아라비아숫자 이전에는 자릿수 대신 숫자 자체가 단위를 포함해 효율적인 계산이 쉽지 않았다. 중국 등 동양권에서는 이를 주판이라는 계산도구로 극복하는 과정에서 ‘0’과 자릿수의 개념을 어렴풋이 인지하고 있었지만 명확한 개념 정립은 인도에서 유래한 아라비아숫자가 아랍권에서 활용하면서부터다.

 

   2020        二千二十
-    19       -    十九
-------      -------
   2001         二千一

 

그런 면에서 아라비아 숫자는 바둑돌과 유사한 점이 있다. 돌 자체는 모두 같은 크기고, 같은 형태지만 어디서 어떤 역할을 하느냐에 따라 상대적인 중요도가 차이가 나듯이 아라비아 숫자도 그러하다.
장기는 ‘차’ ‘포’ ‘마’ ‘상’, 체스는 ‘퀸’ ‘비숍’ ‘룩’ ‘나이트’라는 원래부터의 용도가 정해져있고, 또 각자 기물이 갖고 있는 영향력도 각각 다르다.

 

<알림>
경기도민뉴스는 일명 수포자를 위한 [김쌤s’ 수학클리닉]을 연재한다. [김쌤s’ 수학클리닉]은 중등~고등1학년 중 수학을 어려워하는 학생을 대상으로 한 것으로 수학의 기본적인 개념을 제시하는데 중점을 뒀다.
수학 반타작(문과 수능 수리영역 기준 100점 만점에 50점 득점)을 일차목표로 하며, 이를 위한 첫걸음이 수학클리닉이다. 엄밀한 증명도 있겠지만, 실제 개인지도 현장에서 학생들이 부딪히는 문제의 직관적 해결도 있다.
공동 필자=김영수/김도현(동국대 물리반도체 2014)
기사입력: 2020/10/30 [10:06]  최종편집: ⓒ 경기도민뉴스
 
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