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026. 수학기호의 중요성(등호와 괄호)
등호 ‘=’은 좌우의 수(數)나 식(式)이 서로 같다는 의미
경기도민뉴스 기사입력  2020/11/11 [10:21]

[김쌤s’ 수학클리닉] = 5-3=2라는 것은 누구나 알고 있다. 우리나라 초등학생들은 대부분 ‘5빼기 3은 2’라는 식으로 배운다. 이 표현방법은 ‘5에서 3을 빼면 2라는 결과가 나온다’라는 것을 무의식적으로 전제하고 있다.

 

1) 주어진 항등식은 최대한 간단하게 정리
틀린 표현은 아니지만, 이런 식의 고정관념이 머릿속에 깊이 박히면 나중에 중고등학교에 진학해, 곤란을 겪을 수 있다. 5-3=2라는 수식은 정확하게는 ‘좌변 5-3과 우변 2는 같다’라는 것이 옳은 표현이다.


그게 뭐 어때서라고 반문할 수도 있지만, 중학교에서 기초적인 방정식과 인수분해를 배울때, 고등학교에서 항등식을 배울 때, ‘5에서 3을 빼면 2라는 결과가 나온다’라고 생각하는 것과 ‘5-3과 2는 같다’라고 생각하는 것은 학습의 진도에 있어서나 이해도에 있어서나 차이가 날 수 있다.

 

일단 문제를 통해 확인해보자.
2014년 6월 시행 전국모의평가 고등학교 1학년22번문항



언뜻 복잡해보이지만, 먼저 본격적인 문제풀이에 앞서, 좌변과 우변의 두 개의 식이 등호 ‘=’ 에 의해 연결되어 있다는 것을 이해해야 한다.
등호 ‘=’에 의해 연결된 식이므로 양쪽은 같다.
​따라서 주어진 식을 가장 간단한 형태로 변형하기 위해 우변에 있는 (x-1)을 0으로 만들 수 있는 x=1을 양변에 대입해보자.

 


그러면 위의 식은
좌변(1+5+7)=우변(a)가 된다.
즉, a의 값은 13으로 정답은 13이 된다.

 

​이 항등식의 개념은 복잡한 인수분해를 풀이할 때 매우 유용하며, 조립제법이나 미적분 등의 복잡한 함수를 포함한 수학문제도 의외로 간단하게 풀어내는 데 도움을 준다.

 

 

2) 괄호의 종류에 따른 연산의 순서
​초등 고학년과정에서 학생들이 만나는 복병 중의 하나가 괄호로 묶인 수식의 연산 순서다. 수학에서 괄호의 종류는 대체로 대괄호[ ], 중괄호{ }, 소괄호( ) 3개를 사용한다. 수학에서 괄호는, 괄호안의 것들은 하나의 숫자, 또는 문자로 취급한다.


계산의 순서는 소괄호( )를 먼저 풀고, 중괄호{ }, 대괄호[ ]안의 수식을 계산한다.

 

다음의 경우를 보자.
(2+3)×6라는 식은 괄호안의 (2+3)을 먼저 계산한 결과인 5에 6을 곱하라는 의미이다. 만약, 이 수식에서 괄호를 제거하면
2+3×5가 되는데, 이때는 사칙연산의 규칙에 따라 3×5의 결과인 15에 2를 더하라는 것으로 수식의 의미가 달라진다.

 

 

약간 더 복잡한
①{(2+3)×6}÷2라는 식을 보자. 또, 나아가 ②[{(2+3)×6}÷2]-1이라는 식을 보자.
①식은 2+3=5에 6을 곱한 결과인 30을 다시 2로 나누라는 것이므로 15라는 계산결과를 얻는다. ②식은 여기에 다시 1을 빼라는 의미이므로 14라는 계산결과를 얻는다.


​만약 ①식과 ②식에서 괄호를 모두 제거하면 상이한 계산결과가 나오는데, 이는 괄호안의 것을 가장 먼저 계산하되, 곱하기(나누기)는 덧셈(뺄셈)보다 먼저 계산한다는 사칙연산의 규칙에 따른 것이다.


①식의 괄호를 제거하면 2+3×6÷2가 되고, 이는 곱하기(나누기)는 덧셈(뺄셈)보다 먼저 계산한다는 사칙연산의 규칙에 따라 3×6=18에 2를 나눈 결과인 9에 다시 2를 더하라는 의미이므로 11이 된다.
②식에서 괄호를 제거하면 2+3×6÷2-1이므로, 9에 2를 더하고, 다시 1을 빼라는 의미이므로 계산결과는 10이 된다.


​이 원칙은 숫자의 계산뿐만 아니라, 문자의 계산에서도 동일하게 적용해야 한다.

 

 

<알림>
경기도민뉴스는 일명 수포자를 위한 [김쌤s’ 수학클리닉]을 연재한다. [김쌤s’ 수학클리닉]은 중등~고등1학년 중 수학을 어려워하는 학생을 대상으로 한 것으로 수학의 기본적인 개념을 제시하는데 중점을 뒀다.
수학 반타작(문과 수능 수리영역 기준 100점 만점에 50점 득점)을 일차목표로 하며, 이를 위한 첫걸음이 수학클리닉이다. 엄밀한 증명도 있겠지만, 실제 개인지도 현장에서 학생들이 부딪히는 문제의 직관적 해결도 있다.
공동 필자=김영수/김도현(동국대 물리반도체 2014)
기사입력: 2020/11/11 [10:21]  최종편집: ⓒ 경기도민뉴스
 
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