[김쌤s’ 수학클리닉] = 로그(log)와 지수법칙은 뗄 수 없는 관계를 갖고 있는데, 상당수의 학생들이 지수법칙을 제대로 이해하지 못하다보니, 로그(log)에 대해서도 많이들 어려워한다.

▲ 고교과정에서는 로그는 원래 거리계산(천문학)을 위한 도구였다는 정도로 이해해도 무방하다. 무료이미지 픽사베이.    © 경기도민뉴스

1) 로그, 천문학 항해술 등 대규모숫자 계산에 활용
①고교과정에서 ‘로그’는 천문학, 항해술 등의 거리(숫자의 크기가 어마어마했다)계산을 쉽게 하기 위한 정도라고 생각하면 큰 무리가 없을 것이다. 그 연원은 컴퓨터와 계산기가 없던 17세기에 네이피어가 고안(또는 발견한)해, 복잡한 계산(특히 곱셈)에 위력을 발휘했다.

②로그의 장점은 곱셈을 덧셈으로 바꿔 계산하는 것이다. 계산기가 있는 현대와 달리, 17~18세기에 여섯자리 이상의 숫자단위를 두세번만 곱하면 대부분의 수학자들은 진이 빠지기 일쑤였다.
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③지구의 공전궤도를 발견해 케플러의 법칙을 수립한 케플러의 스승 타코 브라헤가 바로 삼각함수를 활용해 복잡한 계산을 손쉽게 해내던 수재중의 하나였다. 천문학자 타코 브라헤가 지구와 태양과의 거리, 지구와 달과의 거리, 지구와 화성과의 거리를 계산하기 위해 고생한 것을 상상하며, 즐거운 마음으로 로그의 기본만이라도 학습해보자.

2) 로그의 밑은 ‘0’보다 큰 ‘1’이 아닌 수
①먼저 로그(log)의 정의를 살펴보면,

라고 대부분의 교과서나 참고자료는 소개한다. 여기서 하나 더 첨가하자면, 한번 밑에 깔렸던 수(a)는 특별한 경우가 아니면 항상 ‘밑’에서 벗어나지 못한다.

②일단 정의에서, 로그는 지수의 또 다른 표현방법이라는 것을 알 수 있다. 또 원래 거리계산을 위한 도구라는 것도 설명했다.
따라서, 밑에 깔리는 수 ‘a’는 0보다 작을 수 없다(거리이므로). ‘0’이어서는 의미가 없다(거리가 0인 경우). 심지어 소수점의 크기(0.1)여도 상관없다(역시 거리의 크기이므로).

③그러나 ‘1’인 경우는 수학적으로 의미가 없다. ‘1’은 그 어떠한 제곱을 해도 1이 된다. 심지어 1에는 0제곱을 해도 1이 된다(지수법칙에서 설명했다 014. 참조).

④양수(陽數)를 제곱(홀수번이든, 짝수번이든)하면 그 연산결과는 당연히 양수(陽數)이므로 진수 ‘b’는 0보다 크다.

⑤이 설명에는 로그는 실수범위에서만 성립한다는 것을 전제하고 있다. 실수는 수직선위에 존재하는 수이며, 무리수여도 상관이 없다. 또 수직선 2 개를 교차해 만든 좌표평면에서도 존재하므로, 각종 함수와 그래프로 나타낼수도 있다.

3) 로그의 밑과 진수조건에 대한 잔소리 수준의 설명
이제 구체적 숫자로 밑 ‘a’와 진수 ‘b’에 대해 조건(a ≠ 1, a > 0, 진수 b > 0)에 어긋나는 경우를 가정해보자. 원래 로그는 지수법칙에서 나온 것이므로 지수법칙과 연관해 생각해보자.

①1은 무수히 거듭 제곱을 해도 언제나 1이 되므로, x를 만족하는 해(解, 정답)가 무수히 많다(부정)는 것을 알 수 있다.

②1은 그 어떠한 수를 제곱해도 1이므로 x를 만족하는 해(解, 정답)는 없다(불능). 따라서 수학적으로 무의미하다.

③원래의 지수법칙에서 x는 실수(實數)이므로, 양의정수 ‘2’에 어떠한 실수(實數)를 제곱해도 절대 0보다 작아질 수가 없다.
따라서, 위의 식 좌변과 우변은 모두 수학적으로 정의되지 않은 것(무의미)이다.

④더 나아가.

등도 원래 로그가 나오도록 한 지수법칙과 연관해 생각해보면, 모두 무의미하다.

라는 식의 성립조건은
(x-2)가 0이 아니기만 하면(전체를 제곱하므로)
즉, x≠2 이기만 하면 성립한다.

⑤그렇다면
a=10, x=-2, b=0.01인 경우를 알아보자.

위와 같이 성립한다.